Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của hàm số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

  $\begin{array}{l}y\text{'}=x^2-2\left(2m+1\right)x-m;\\ y\text{'}=0\\ \iff x^2-2\left(2m+1\right)x-m=0\end{array}$(*).

$$\begin{gathered} \Delta \text{'}={\left(2m+1\right)}^2+m \\ =4m^2+5m+1 \end{gathered}$$

Để hàm số có hai điểm cực trị thì $y\text{'}=0$  có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó hai điểm cực trị $x_1,x_2$  là hai nghiệm của phương trình (*).

Xét các trường hợp sau:

+ Phương trình (*) có nghiệm bằng 0$\Rightarrow m=0$ .

Với $m=0$  , (*) trở thành $x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=2\end{array}\right.$ , không thỏa mãn $x_1<x_2$   mà $\left|x_1\right|>\left|x_2\right|$  .

+ Phương trình (*) có nghiệm $0<x_1<x_2$ . Khi đó $\left|x_1\right|<\left|x_2\right|$  nên trường hợp này không thỏa mãn.

+ Phương trình (*) có nghiệm $x_1<0<x_2$  .

Khi đó ta có

$\begin{array}{l}\left|x_1\right|>\left|x_2\right|\\ \iff -x_1>x_2\\ \iff x_1+x_2<0\end{array}$ 

Vậy điều kiện cho trường hợp này là

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}P<0\\ S<0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}-m<0\\ 2\left(2m+1\right)<0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

 hệ này vô nghiệm.

+ Phương trình (*) có nghiệm $x_1<x_2<0$  . Khi đó ta có ngay $\left|x_1\right|>\left|x_2\right|$  .

Vậy điều kiện cho trường hợp này là

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ P>0\\ S<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4m^2+5m+1>0\\ -m>0\\ 2\left(2m+1\right)<0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(-\frac{1}{4};+\infty \right)\\ m<0\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right.\\ \iff m\in \left(-\infty ;-1\right)\end{array}$

Vậy không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.