Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi h(m) là chiều cao của chiếc bồn nước,$\left(h>0\right)$ .

Thể tích của chiếc bồn là $V=\pi r^{2}h=10\Rightarrow h=\frac{10}{\pi r^2}$  .

Diện tích toàn phần của chiếc bồn là:

$\begin{array}{l}{S}_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh\\ =2\pi r^2+2\pi r.\frac{10}{\pi r^2}\\ =2\pi r^2+\frac{20}{r}\\ =2\pi r^2+\frac{10}{r}+\frac{10}{r}\end{array}$

Cách 1: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: $S_{tp}\ge 3\sqrt[3]{2\pi r^2.\frac{10}{r}.\frac{10}{r}}=3.\sqrt[3]{200\pi }$  .

Dấu “=” xảy ra khi

$\begin{array}{l}2\pi r^2=\frac{10}{r}\\ \iff r^3=\frac{5}{\pi }\\ \iff r=\sqrt[3]{\frac{5}{\pi }}\end{array}$  

Vậy với $r=\sqrt[3]{\frac{5}{\pi }}$  thì lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất.

Cách 2: Xét hàm số $f\left(r\right)=2\pi r^2+\frac{20}{r},r>0$ .

Ta có

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(r\right)=4\pi r-\frac{20}{r^2}=\frac{4\pi r^3-20}{r^2};\\ f\text{'}\left(r\right)=0\\ \iff 4\pi r^3-20=0\\ \iff r^3=\frac{5}{\pi }\iff r=\sqrt[3]{\frac{5}{\pi }}\end{array}$

Bảng biến thiên:

 $\Rightarrow f\left(r\right)$đạt giá trị nhỏ nhất tại $r=\sqrt[3]{\frac{5}{\pi }}$ .