Cho x;y;z;t thuộc ( 1/4;1 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Dễ dàng có được $x^2\ge x-\frac{1}{4}$; $y^2\ge y-\frac{1}{4}$; $z^2\ge z-\frac{1}{4}$; $t^2\ge t-\frac{1}{4}$ (1)

Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi x = y = z = t = $\frac{1}{2}$

Vì x; y; z; t $\in \left(\frac{1}{4};1\right)$ nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta có:

${\log }_x\left(y^2\right)\le {\log }_x\left(y-\frac{1}{4}\right)$; ${\log }_y\left(z^2\right)\le {\log }_y\left(z-\frac{1}{4}\right)$; ${\log }_z\left(t^2\right)\le {\log }_z\left(t-\frac{1}{4}\right)$; ${\log }_t\left(x^2\right)\le {\log }_t\left(x-\frac{1}{4}\right)$ 

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được:

$$\begin{gathered} {\log }_x\left(y-\frac{1}{4}\right)+{\log }_y\left(z-\frac{1}{4}\right) \\ +{\log }_z\left(t-\frac{1}{4}\right)+{\log }_t\left(z-\frac{1}{4}\right) \\ \ge 2\left({\log }_x\left(y\right)+{\log }_y\left(z\right)\right) \\ +\left({\log }_z\left(t\right)+{\log }_t\left(x\right)\right) \left(2\right) \end{gathered}$$

Dễ thấy ${\log }_x\left(y\right)$; ${\log }_y\left(z\right)$; ${\log }_z\left(t\right)$; ${\log }_t\left(x\right)$ luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

$$\begin{gathered} {\log }_x\left(y\right){\log }_y\left(z\right){\log }_z\left(t\right){\log }_t\left(x\right) \\ \ge 4\sqrt[4]{{\log }_x\left(y\right){\log }_y\left(z\right){\log }_z\left(t\right){\log }_t\left(x\right)} \end{gathered}$$

Mà 

$$\begin{gathered} {\log }_x\left(y\right){\log }_y\left(z\right){\log }_z\left(t\right){\log }_t\left(x\right) \\ ={\log }_x\left(y\right)\frac{{\log }_x\left(z\right){\log }_x\left(t\right)}{{\log }_x\left(y\right){\log }_x\left(z\right)}{\log }_t\left(x\right) \\ =1 \end{gathered}$$

Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.

Đáp án B