Cho hai số phức và . Gọi là số phức thỏa mãn . Tìm , biết biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Gọi  $M\left(a;b\right)$là điểm biểu diễn số phức $z=a+bi$ . Đặt $I=\left(1;1\right)$  , $A\left(7;9\right)$  và  $B\left(0;8\right)$

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  $\left(C\right)$có tâm I, bán kính  $R=5$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm $K\left(x;y\right)$  sao cho $MA=2MK\forall M\in \left(C\right)$  .

Ta có  

 $\begin{array}{l}MA=2MK\iff M{A}^2=4M{K}^2\\ \iff {\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2=4{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IK}\right)}^2\end{array}$

$\iff M{I}^2+I{A}^2+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}$$=4\left(M{I}^2+I{K}^2+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}\right)$

$\iff 2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}\right)=3R^2+4I{K}^2-I{A}^2\left(*\right)$

(*) luôn đúng $\forall M\in \left(C\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{0}\\ 3R^2+4I{K}^2-I{A}^2=0\end{array}\right.$ .

$\begin{array}{l}\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{0}\\ \iff \left\{\begin{array}{l}4\left(x-1\right)=6\\ 4\left(y-1\right)=8\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=3\end{array}\right.\end{array}$

Thử trực tiếp ta thấy $K\left(\frac{5}{2};3\right)$   thỏa mãn $3R^2+4I{K}^2-I{A}^2=0$ .

Ta cos $MA+2MB=2MK+2MB$$=2\left(MK+MB\right)\ge 2KB$  .

Vì $B{I}^2=1^2+7^2=50>R^2=25$  nên B nằm ngoài (C).

Vì $K{I}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+2^2<R^2=25$  nên K nằm trong (C)  .

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK  . Do đó $MA+2MB$  nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.

Phương trình đường thẳng $BK:2x+y-8=0$ .

Phương trình đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$ .

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+y=8\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\end{array}\right. \end{gathered}$$

 hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-2\end{array}\right.$ .

Thử lại thấy $M\left(1;6\right)$  thuộc đoạn BK.

Vậy $a=\mathrm{1,}b=6\Rightarrow a+b=7$  .