Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực là

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương trình 

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\cos x}}=\cos x\iff m+3\sqrt[3]{m+3\cos x}={\cos }^{3}x \\ \iff m+3\cos x+3\sqrt[3]{m+3\cos x}={\cos }^{3}x+3\cos x \\ \iff f\left(\sqrt[3]{m+3\cos x}\right)=f\left(\cos x\right)\left(*\right) \end{gathered}$$

Hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ nên $\left(*\right)\iff \sqrt[3]{m+3\cos x}=\cos x\iff m={\cos }^{3}x-3\cos x$ 

Đặt $a=\cos x\in \left[-1;1\right],$ khi đó $m=a^3-3a\to g\left(a\right)=a^3-3a$ 

Xét hàm số $g\left(a\right)=a^3-3a$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$ suy ra $\underset{\left[-2;2\right]}{\min }g\left(a\right)=-2;\underset{\left[-2;2\right]}{\max }g\left(a\right)=2$ 

Do đó, phương trình $m=g\left(a\right)$ có nghiệm $\iff -2\le m\le 2$