Cho số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối (z-1)/(z+3i) = 1/ căn 2. Tìm giá trị lớn

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right),$ khi đó $\left|\frac{z-1}{z+3i}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sqrt{2}\left|z-1\right|=\left|z+3i\right|$ 

$\iff 2\left[{\left(x-1\right)}^2+y^2\right]=x^2+{\left(y+3\right)}^2\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=20\left(C\right)$ 

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C), tâm $I\left(2;3\right),$ bán kính $R=2\sqrt{5}$ 

Ta có $P=\left|z+i\right|+2\left|\overline{z}-4+7i\right|=\left|z+i\right|+2\left|z-4+7i\right|,$ với $A\left(0;-1\right),B\left(4;7\right)\Rightarrow P=MA+2MB$ 

Vậy $P=MA+2MB\le \sqrt{\left(1^2+2^2\right)\left(M{A}^2+M{B}^2\right)}=\sqrt{5.20}=10\to P_{max}=10$