Cho a thuộc [1/9 ; 3] và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt $t={\log }_{\frac{1}{3}}a$ với $a\in \left[\frac{1}{9};3\right]\Rightarrow t\in \left[-1;2\right].$

Khi đó $P=9{\log }_{\frac{1}{3}}^3\sqrt[3]{a}-{\log }_{\frac{1}{3}}{a}^3+1=\frac{1}{3}{\left({\log }_{\frac{1}{3}}a\right)}^3-3{\log }_{\frac{1}{3}}a+1\Rightarrow P=f\left(t\right)=\frac{t^3}{3}-3t+1$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^3}{3}-3t+1$ trên đoạn [-1;2] ta có:

$f\text{'}\left(t\right)=t^2-3;f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}{t}^2=3\\ -1\le t\le 2\end{array}\right.\iff t=\sqrt{3}$ 

Tính các giá trị $f\left(-1\right)=\frac{11}{3};f\left(2\right)=-\frac{7}{3};f\left(\sqrt{3}\right)=1-2\sqrt{3}$ 

Vậy giá trị lớn nhất của f(t) là $f\left(-1\right)=\frac{11}{3}$ và giá trị nhỏ nhất của f(t) là $f\left(\sqrt{3}\right)=1-2\sqrt{3}$ 

Do đó $3M+5m=3.\frac{11}{3}+5\left(1-2\sqrt{3}\right)=16-10\sqrt{3}=-1,32$