Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r

Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là $R^2=r^2+\frac{h^2}{4}$ 

Thể tích khối trụ là $V={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left(4{\mathrm{R}}^2-{\mathrm{h}}^2\right).\mathrm{h}$ 

Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có

$\left(4R^2-h^2\right)\left(4R^2-h^2\right)2h^2\le \frac{{\left(4R^2-h^2+4R^2-h^2+2h^2\right)}^3}{27}$

Nên  $\left(4R^2-h^2\right).h^2\le \frac{256R^6}{27}\Rightarrow V\le \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left(4R^2-h^2\right)h\le \frac{4\mathrm{\pi }\sqrt{3}}{9}{R}^3$ 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $4R^2-h^2=2h^2\iff h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$.