Cho lăng trụ đứng A B C. A 'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh 1 , A A'=căn 3. Tính khoảng

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của BC, trong mặt phẳng (A′AI) kẻ AH vuông góc với A′I.

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}BC\perp AI\\ BC\perp \left(A{A}^{\text{'}}\right)\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp AH.\\ \left\{\begin{array}{l}AH\perp BC\left(cmt\right)\\ AH\perp A^{\text{'}}I\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(A^{\text{'}}BC\right).\end{array}$

Vậy $d\left(A,\left(A^{\text{'}}BC\right)\right)=AH.$

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{A}^{\text{'}2}}+\frac{1}{A{I}^2} \\ =\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)}^2} \\ =\frac{1}{3a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{5}{3a^2} \\ \Rightarrow AH=\frac{\sqrt{15}a}{5}. \end{gathered}$$