Tìm hệ số của x^7 trong khai triển (3-2x)^15

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Cách 1: Tư duy tự luận

$\begin{array}{l}{\left(3-2x\right)}^{15}\\ =\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{3}^{15-k}{\left(-2x\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{3}^{15-k}{\left(-2\right)}^k{x}^k\end{array}$

Với $0\le k\le 15$$k\in \mathbb{N}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^7$  trong khai triển là$C_{15}^7{3}^8{\left(-2\right)}^7=-C_{15}^7{3}^8{2}^7$

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay 

$\begin{array}{l}{\left(3-2x\right)}^{15}=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{3}^{15-k}{\left(-2\right)}^k{x}^k\\ \to \left\{\begin{array}{l}f\left(x;k\right)=x^k\\ g\left(k\right)=C_{15}^k{3}^{15-k}{\left(-2\right)}^k\end{array}\right.\end{array}$

$\underset{k=X}{\overset{x=2}{\to }}\left\{\begin{array}{l}f\left(X\right)=2^X\\ g\left(X\right)=C_{15}^X{3}^{15-X}{\left(-2\right)}^X\end{array}\right.$

trong đó $\left\{\begin{array}{l}0\le X\le 15\\ X\in \mathbb{N}\end{array}\right.$

Sử dụng TABLE, nhập vào máy  $f\left(X\right)=2^X$ và $g\left(X\right)=15CX\times 3^{15-X}\times {\left(-2\right)}^X$ . Chọn Start = 0, End = 15, Step = 1.

Quan sát bảng giá trị, ta thấy tại $F\left(X\right)=128=2^7=x^7$  (do $x=2$ ) thì $x=7\to k=7$  và $G\left(X\right)=-5404164480$  là hệ số của số hạng chứa $x^7$   trong khai triển.

Cách 3: Sử dụng công thức tính hệ số khai triển n - thức

Ta có hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}{k}_0+k_1=15\\ 0.k_0+1.k_1=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{k}_0=8\\ k_1=7\end{array}\right.$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^7$   trong khai triển là

$\begin{array}{l}\left[x^7\right]=\frac{15!}{7!.8!}{.3}^8.{\left(-2\right)}^7\\ =\frac{15!}{\left(15-7\right)!.7!}{.3}^8.{\left(-2\right)}^7\\ =-C_{15}^7{.3}^8{.2}^7\end{array}$