Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [0;1]

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Tập xác định: $D=ℝ$ .

 Nếu  $x\ne \mathrm{0,}x\ne 1$thì hàm số  $y=f\left(x\right)$liên tục trên mỗi khoảng  $\left(-\infty ;0\right),\left(0;1\right)$và $\left(1;+\infty \right)$ .

 Nếu $x=0$   thì  $f\left(0\right)=0$ và  $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x=0\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0\end{array}\right.$

Suy ra $f\left(0\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$  và hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục tại điểm x=0.

Nếu $x=1$  thì  $f\left(1\right)=\sqrt{1}=1$và  $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x=1\\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\sqrt{x}=1\end{array}\right.$

Suy ra $f\left(1\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=1$  và hàm số  $y=f\left(x\right)$ liên tục tại điểm x=1.

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục trên R  .