Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình Tìm tất cả các giá

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Đặt $t=\cos 3x,(-1\le t\le 1)$ Phương trình trở thành $2t^2+(3-2m)t+m-2=0$ 

Ta có $∆={\left(2m-5\right)}^2$ Suy ra phương trình có hai nghiệm $\left\{\begin{array}{l}{t}_1=\frac{1}{2}\\ t_2=m-2\end{array}\right.$ 

Trường hợp 1:

 Với $t_1=\frac{1}{2}\to \cos 3x=\frac{1}{2}\iff \left\{\begin{array}{l}3x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }\\ 3x=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\mathrm{\pi }}{9}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\\ x=-\frac{\mathrm{\pi }}{9}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\end{array}\right.$ 

* Với $x=\frac{\mathrm{\pi }}{9}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$và $x\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ thì $-\frac{\mathrm{\pi }}{6}<-\frac{\mathrm{\pi }}{9}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{3}<\frac{\mathrm{\pi }}{3}\iff \frac{1}{12}<k<\frac{2}{3}$ 

Do $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $k=0\to x=-\frac{\mathrm{\pi }}{9}$ 

* Với $x=-\frac{\mathrm{\pi }}{9}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$và $x\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ thì $-\frac{\mathrm{\pi }}{6}<-\frac{\mathrm{\pi }}{9}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{3}<\frac{\mathrm{\pi }}{3}\iff -\frac{1}{12}<k<\frac{2}{3}$ 

Do $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $k=0\to x=-\frac{\mathrm{\pi }}{9}$

Suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trên khoảng$\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$

Trường hợp 2: Với $t_2=m-2\to \cos 3x=m-2$ Xét $f\left(x\right)=\cos 3x$ trên $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=-3\sin 3x;f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=0\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ 

Bảng biến thiên:

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm trên $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ khi và chỉ khi phương trình $\cos 3x=m-2$ có 1 nghiệm trên $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$, hay đồ thị $f\left(x\right)=\cos 3x$ cắt đường thẳng $y=m-2$ tại đúng 1 điểm. Quan sát bảng biến thiên, suy ra $-1\le m-2<0\iff 1\le m<2$