Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = căn 3 x^2cung tròn có phương

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\sqrt{3}{x}^2=\sqrt{4-x^2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0\le x\le 2\\ 3x^4=4-x^2\end{array}\right.\iff x=1.$

Dựa vào hình vẽ ta có:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{3}{x}^{2}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx=\sqrt{3}\frac{x^3}{3}\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_0\end{array}\right.+I_1=\frac{\sqrt{3}}{3}+I_1$

Với $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx,$ sử dụng CASIO

hoặc đặt $x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt$

Đổi cận

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\\ x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\Rightarrow I_1=\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{4-4{\sin }^{2}t}.cos\text{tdt} \\ \text{=}\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}2\left(1+cos2t\right)dt=\left(2t-\sin 2t\right)\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{2}}\\ {}_{\frac{\pi }{6}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow I_1=\frac{1}{6}\left(4\pi -3\sqrt{3}\right).$ Do đó $S=\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}.$