Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình căn 3 (m +3 căn 3 (m+3sinx)) = sinx

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Đặt $\sqrt[3]{m+3\sin x}=a;\mathrm{s}\text{inx}=b$

ta có: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{m+3a}=b\\ \sqrt[3]{m+3b}=a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+3a=b^3\\ m+3b=a^3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 3\left(a-b\right)=b^3-a^3=\left(b-a\right)\left(b^2+ba+a^2\right) \\ \iff \left(b-a\right)\left(b^2+ba+a^2+3\right)=0 \end{gathered}$$

Do

$$\begin{gathered} b^2+ba+a^3+3>0\Rightarrow a=b\Rightarrow m+3\sin x={\sin }^{3}x \\ \iff m={\sin }^{3}x-3\sin x=b^3-3b=f\left(b\right) \end{gathered}$$

Xét $f\left(b\right)=b^3-3b\left(b\in \left[-1;1\right]\right)$

ta có: $f\text{'}\left(b\right)=3b^2-3\le 0\left(\forall b\in \left[-1;1\right]\right)$

Do đó hàm số f(b) nghịch biến trên $\left[-1;1\right]$

Vậy $f\left(b\right)\in \left[f\left(1\right);f\left(-1\right)\right]=\left[-2;2\right].$

Do đó PT đã cho có nghiệm $\iff m\in \left[-2;2\right]$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thõa mãn.