Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;-1;1) và C(-1;-1;1

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là

$\left(P\right):+by+cz+d=0.$

Vì $d\left(B;\left(P\right)\right)=d\left(C;\left(P\right)\right)=1$ suy ra

$mp\left(P\right)//BC$ hoặc đi qua trung điểm của BC.

Trường hợp 1: với 

$suyrad\left(A;\left(P\right)\right)=\frac{\left|2b+c+d\right|}{\sqrt{b^2+c^2}}=2$

$$\begin{gathered} Và d\left(B;\left(P\right)\right)=\frac{\left|-b+c+d\right|}{\sqrt{b^2+c^2}}=1 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left|2b+c+d\right|=2\left|-b+c+d\right|\\ \left|-b+c+d\right|=\sqrt{b^2+c^2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}4b=c+d\\ c+d=0\end{array}\right.\\ \left|-b+c+d\right|=\sqrt{b^2+c^2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{l}3\left|b\right|=\sqrt{b^2+c^2}\\ \left|b\right|=\sqrt{b^2+c^2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}8b^2=c^2\Rightarrow c=\pm 2\sqrt{2}b\\ c=0\Rightarrow d=0\end{array}\right.$

Suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn.

Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua trùng điểm $BC\Rightarrow \left(P\right):a\left(x-1\right)+b\left(y+1\right)+c\left(z-1\right)=0$

Do đó $d\left(A;\left(P\right)\right)=\frac{3\left|b\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2;d\left(B;\left(P\right)\right)=\frac{2\left|a\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1$

Suy ra $\left[\begin{array}{l}3\left|b\right|=4\left|a\right|\\ 2\left|a\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}3\left|b\right|=4\left|a\right|\\ 3a^2=b^2+c^2\end{array}\right.(*)$

Chọn a =3 suy ra (*)

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\left|b\right|=4\\ b^2+c^2=27\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\pm 4\\ c^2=11\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left(a;b;c\right)=\left\{\begin{array}{l}\left(3;4;\sqrt{11}\right),\left(3;-4;\sqrt{11}\right)\\ \left(3;4;-\sqrt{11}\right),\left(3;-4;-\sqrt{11}\right)\end{array}\right\}. \end{gathered}$$

Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.