Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: cos4x = cos^2 3x + m sin^2 x

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $c{\text{os}}^{2}3x=\frac{1+c\text{os}6x}{2}=\frac{4c{\text{os}}^{3}2x-3c\text{os}2x+1}{2}$ 

và $c\text{os}4x=2c{\text{os}}^{2}2x-1$

Khi đó, phương trình đã cho

$\iff 2c{\text{os}}^{2}2x-1=\frac{4c{\text{os}}^{3}2x-3c\text{os}2x+1}{2}+\frac{1-c\text{os}2x}{2}m$

$\begin{array}{l}\iff 4c{\text{os}}^{2}2x-2=4c{\text{os}}^{3}2x-3c\text{os}2x+1+\left(1-c\text{os}2x\right)m\\ \iff \left(c\text{os}2x-1\right)m=4c{\text{os}}^{3}2x-4c{\text{os}}^{2}2x-3c\text{os}2x+3\end{array}$ 

 Đặt $t=c\text{os}2x,$ với $x\in \left(0;\frac{\pi }{12}\right)\to t\in \left(\frac{\sqrt{3}}{2};1\right),$ 

do đó (*) $\iff m=\frac{4t^3-4t^2-3t+3}{t-1}=4t^2-3.$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=4t^2-3$ trên khoảng $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)\to \left\{\begin{array}{l}\min f\left(t\right)=0\\ \max f\left(t\right)=1\end{array}\right..$ 

Vậy để phương trình $m=f\left(t\right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in \left(0;1\right).$