Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Do các góc phẳng đỉnh A đều bằng ${60}^{\circ }$và 

nên các tam giác $A’AD; A’AB; ABD$ là các tam giác đều cạnh 1.

Ta có: 

$$\begin{gathered} A\text{'}C\text{'}//AC\Rightarrow d\left(AB\text{'};A\text{'}C\text{'}\right)=d\left(\left(AB\text{'}C\right);A\text{'}C\text{'}\right) \\ =d\left(C\text{'};\left(AB\text{'}C\right)\right)=\frac{3V_{C\text{'}.AB\text{'}C}}{S{.}_{AB\text{'}C}} \end{gathered}$$

Mặt khác $A’.ABD$ là hình tứ diện đều cạnh 1.

Ta có $AH=\frac{2}{3}.AO=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow A\text{'}H=\sqrt{AA{\text{'}}^2-A{H}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

$V=S_{ABCD}=V_{A.CC\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{2}{V}_{A.CC\text{'}B\text{'}B}=\frac{V}{6}=\frac{\sqrt{2}}{12}$

$\Delta AB\text{'}C\text{'}$ cân tại A có $AB\text{'}=AC=\sqrt{3};B\text{'}C=A\text{'}D=1$

$S_{AB\text{'}C}=\frac{\sqrt{11}}{4}\Rightarrow d=\frac{3.\frac{\sqrt{2}}{12}}{\frac{\sqrt{11}}{4}}=\frac{\sqrt{22}}{11}.$