Tổng các nghiệm của phương trình 2cos3x( 2 cos2x + 1 )= 1 trên đoạn

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} PT\iff 4c\text{os}3xc\text{os}2x+2c\text{os}3x=1 \\ \iff 2c\text{os}5x+2\cos x+2c\text{os}3x=1 \end{gathered}$$ 

Nhận xét $x=k\pi$ không phải nghiệm của PT đã cho.

Ta có:

$PT\Rightarrow 2\sin x\left(\cos x+c\text{os}3x+c\text{os}5x\right)=\mathrm{s}\text{inx}$

$\begin{array}{l}\iff \sin 2x+\sin 4x-\sin 2x+\sin 6x-\sin 4x=\mathrm{s}\text{inx}\\ \iff \sin 6x=\mathrm{s}\text{inx}\iff \left[\begin{array}{l}6x=x+k2\pi \\ 6x=\pi -x+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{k2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{7}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\right.\end{array}$

Xét trên chu kì từ $\left[0;2\pi \right]$ ta có các nghiệm (loại đi các nghiệm $x=k\pi$ ).

$$\begin{gathered} x=\frac{2\pi }{5};x=\frac{4\pi }{5};x=\frac{6\pi }{5};x=\frac{8\pi }{5};x=\frac{\pi }{7}; \\ x=\frac{3\pi }{7};x=\frac{5\pi }{7};x=\frac{9\pi }{7};x=\frac{11\pi }{7};x=\frac{13\pi }{7}. \end{gathered}$$ 

Tổng các nghiệm này trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ bằng $10\pi$

Do đó tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $\left[-4\pi ;6\pi \right]$ 

là $5.10\pi +\left(-2-1+0+1+2\right).2\pi =50\pi .$