Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P)

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Xét tứ diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) chính là trực tâm H của tam giác ABC và d$\left(O;\left(ABC\right)\right)=h$ 

Ta có $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$, nên $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ có giá trị nhỏ nhất khi $d\left(O;\left(ABC\right)\right)$ lớn nhất.

 Mặt khác $d\left(O;\left(ABC\right)\right)\le OM,\forall M\in \left(P\right)$. Dấu "=" xảy ra khi $H\equiv M$ hay mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OM }=(1;2;3)$.

Vậy $\left(P\right):1\left(x-1\right)+2(y-2)+3\left(z-3\right)=0\iff x+2y+3z-14=0$