Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1) Trong không gian

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Mặt cầu(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R = 1. Gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức $3\overrightarrow{EA }+2\overrightarrow{BE }+\overrightarrow{EC }=\overrightarrow{O }\to E\left(1;4;-3\right)$ 

Ta có $$\begin{gathered} T=3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2=3{(\overrightarrow{ME }+\overrightarrow{EA })}^2+2{\left(\overrightarrow{ME }+\overrightarrow{EB }\right)}^2+{\left(\overrightarrow{ME }+\overrightarrow{EC }\right)}^2 \\ =6M{E}^2+3E{A}^2+E{B}^2+E{C}^2+2\overrightarrow{ME }(3\overrightarrow{EA }+2\overrightarrow{EB }+\overrightarrow{EC }) \end{gathered}$$ 

$\to T=6M{E}^2+3E{A}^2+2E{B}^2+E{C}^2$. Do EA, EB, EC không đổi nên T nhỏ nhất khi ME nhở nhất  M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).

Ta có $\overrightarrow{IE }=(0;3;4)\to$ Phương trình $IE:\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+3t\\ z=1-4t\end{array}\right.(t\in \mathrm{ℝ})$ . Giao điểm của IE và mặt cầu $\left(S\right)$ thỏa mãn phương trình:

${\left(1-1\right)}^2+{\left(1+3t-1\right)}^2+{(1-4t-1)}^2=1\iff 25t^2=1\iff t=\pm \frac{1}{5}\to \left\{\begin{array}{l}{M}_1\left(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}\right)\\ M_2\left(1;\frac{2}{5};\frac{9}{5}\right)\end{array}\right.$

Ta có $M_1\left(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}\right)\to M_{1}E=4$ và $M_2\left(1;\frac{2}{5};\frac{9}{5}\right)\to M_{2}E=6$. Vậy $M_{1}E<M_{2}E$ và biểu thức $T=3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M\left(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}\right)$

$\to a=1,b=\frac{8}{5},c=\frac{1}{5}\to a+b+c=\frac{14}{5}$