Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là r=2 over 3, độ dài đường sinh l=2

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt MN, PQ, cung AB,AQ lần lượt tại H,F,D,E 

Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy của hình nón nên

$l_{AB}=2\mathrm{\pi r}=2\mathrm{\pi }.\frac{2}{3}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

Lại có $l_{ab}=\alpha .OA\Rightarrow \alpha =\frac{l_{ab}}{OA}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}:2=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}=\stackrel{⏜}{AOB}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB có

$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2-2.OA.OB.\cos \stackrel{⏜}{AOB}}=\sqrt{2^2+2^2-2.2^2\left(-\frac{1}{2}\right)}=2\sqrt{3}$

Do M,N lần lượt là trung điểm của OA,OB nên $\stackrel{⏜}{AOB}\Rightarrow \stackrel{⏜}{AOD}=60°$

$\Rightarrow MH=\frac{1}{2}MN=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do $OD\perp AB$ nên OD là tia phân giác của $\stackrel{⏜}{AOB}\Rightarrow \stackrel{⏜}{AOD}=60°$. Xét tam giác vuông OMH có $OH=OM.\cos 60=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Xét tam giác OPQ có $\cos \stackrel{⏜}{POQ}=\frac{O{P}^2+O{Q}^2-P{Q}^2}{2.OP.OQ}=\frac{2^2+2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{2.2.2}=\frac{5}{8}$

Mà $\cos \stackrel{⏜}{POQ}=\cos \left(2\stackrel{⏜}{DOQ}\right)=2{\cos }^2\stackrel{⏜}{DOQ}-1=\frac{5}{8}\Rightarrow \cos \stackrel{⏜}{DOQ}=\frac{\sqrt{13}}{4}$

Xét tam giác DOQ có:

$Q{D}^2+O{Q}^2+O{D}^2-2.OQ.OD.\cos \stackrel{⏜}{DOQ}=8-2\sqrt{13}$

Xét tam giác vuông DQF có

$D{F}^2=Q{D}^2-Q{F}^2=\left(8-2\sqrt{13}\right)-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{29}{4}-2\sqrt{13}$

$\Rightarrow DF=\frac{\sqrt{29-8\sqrt{13}}}{2}=\frac{\sqrt{{\left(4-\sqrt{13}\right)}^2}}{2}=\frac{4-\sqrt{13}}{2}$

$\Rightarrow HF=OD-OH-DF=2-\frac{1}{2}-\frac{4-\sqrt{13}}{2}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}=MQ-NP$

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ tạo bởi hình chữ nhật MNPQ. Chu vi đáy của hình trụ chính là độ dài của PQ nên $PQ=2\mathrm{\pi R}\to \mathrm{R}=\frac{\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi }}$ 

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là:

$V={\mathrm{\pi R}}^2.\mathrm{MQ}=\mathrm{\pi }{\left(\frac{\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi }}\right)}^2.\frac{\sqrt{13}-1}{2}=\frac{3\left(\sqrt{13}-1\right)}{8\mathrm{\pi }}$