Phương trình 2^sin^2x +3^(cos^2x) =4.3^(sin ^2x) có bao nhiêu nghiệm thuộc

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Đặt $t={\sin }^{2}x\left(t\in \left[0;1\right]\right)$  , PT trở thành

$\begin{array}{l}{2}^t+3^{1-t}={4.3}^t\\ \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t}-4=0\end{array}$  (1)

Xét hàm số $f\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t}-4$  trên $\left[0;1\right]$ .

Đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t.\ln \left(\frac{2}{3}\right)-{2.3}^{1-2t}.\ln 3$$<\mathrm{0,}\forall t\in \left[0;1\right]$ . Suy ra hàm số$f\left(t\right)$  nghịch biến trên $\left[0;1\right]$ . Như vậy phương trình $f\left(t\right)=0$  có không quá một nghiệm trên $[0;1]$ .

Nhận thấy $f\left(0\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^0+3^{1-2.0}-4=0$  nên phương trình (1) có duy nhất một nghiệm $t=0\in \left[0;1\right]$ . Suy ra $\sin x=0$ $\iff x=k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Cho  $x\in \left[-2017;2017\right]$$\to -2017\le k\pi \le 2017$$\to -\mathrm{642,03...}\le k\le \mathrm{642,03.}$Do  $k\in \mathbb{Z}$nên $k\in \left\{-642;-641;-640;\mathrm{...};640;641;642\right\}$ . Vậy có tất cả  $642-\left(-642\right)+1=1285$ giá trị k nguyên thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1285 nghiệm trên $\left[-2017;2017\right]$ .