giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $y\text{'}=x^2-2ax-3a$ . Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$  thì $y\text{'}=0$phương trình  phải có hai nghiệm phân biệt .

$$\begin{gathered} x_1,x_2\iff \Delta \text{'}=a^2+3a=a\left(a+3\right)>0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}a>0\\ a<-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Có  $\left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(x_1\right)=0\\ y\text{'}\left(x_2\right)=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1^2-2a{x}_1-3a=0\\ x_2^2-2a{x}_2-3a=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1^2=2a{x}_1+3a\\ x_2^2=2a{x}_2+3a\end{array}\right.$

Theo định lý Vi-ét ta có  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2a\\ x_1{x}_2=-3a\end{array}\right.$

Từ

$\begin{array}{l}\frac{x_1^2+2a{x}_2+9a}{a^2}+\frac{a^2}{x_2^2+2a{x}_1+9a}=2\\ \iff \frac{2a\left(x_1+x_2\right)+12a}{a^2}+\frac{a^2}{2a\left(x_1+x_2\right)+12a}=2\end{array}$

 $\begin{array}{l}\iff \frac{4a^2+12a}{a^2}+\frac{a^2}{4a^2+12a}=2\\ \iff \frac{4a+12}{a}+\frac{a}{4a+12}=2\end{array}$

.

Với  $a\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(0;+\infty \right)$thì $\frac{4a+12}{a}>0$  và $\frac{a}{4a+12}>0$  . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{4a+12}{a}$   và $\frac{a}{4a+12}$  ta có:

$\frac{4a+12}{a}+\frac{a}{4a+12}$$\ge 2\sqrt{\frac{4a+12}{a}.\frac{a}{4a+12}}=2$

Dấu “=” xảy ra

$\begin{array}{l}\iff \frac{4a+12}{a}=\frac{a}{4a+12}\\ \iff {\left(4a+12\right)}^2=a^2\\ \iff 15a^2+96a+144=0\end{array}$

$\iff \left[\begin{array}{l}a=-\frac{12}{5}\left(L\right)\\ a=-4\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy $a_0=-4$  là giá trị cần tìm, suy ra $a_0\in \left(-7;-3\right)$ .