Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có

 $\begin{array}{l}CB\perp AB,CB\perp SA,\\ AB\cap SA=A\\ \Rightarrow CB\perp \left(SAB\right)\\ \Rightarrow CB\perp SB\Rightarrow \Delta SBC\end{array}$   

vuông tại B.

Lại có  

$\begin{array}{l}CD\perp AD,CD\perp SA,\\ AD\cap SA=A\\ \Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)\\ \Rightarrow CD\perp SD\end{array}$

 $\Rightarrow \Delta SDC$vuông tại D.

Mặt khác  $SA\perp \left(ABCD\right)$$\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow \Delta SAC$vuông tại A.

Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: $\Delta SAC,\Delta SBC,\Delta SDC$  lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên $IS=IA=IB$$=IC=ID=\frac{1}{2}SC$ . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính $R=\frac{1}{2}SC$

2. Tính diện tích mặt cầu

Ta có $\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SC,AC}\right)$$=\widehat{SCA}=60°$

Do $\Delta ADC$  vuông tại A nên  $S_{\text{?A}C}=\frac{1}{2}AD.CD$$\iff AD=\frac{2S_{\Delta ADC}}{CD}$$=\frac{a^2\sqrt{3}}{a}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}$$=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+a^2}=2a$

Mà $AC=SC.\cos \widehat{SCA}$$\Rightarrow SC=\frac{2a}{\cos 60°}=4a$

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R=\frac{SC}{2}=\frac{4a}{2}=2a$  và diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi .{\left(2a\right)}^2=16\pi a^2$  (đvdt).