Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Từ dữ liệu đề bài ta thấy $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\Rightarrow$   tam giác ABC vuông tại A.

Trong mặt phẳng $\left(ABC\right)$  kẻ $AH\perp BC$  tại H.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}DA\perp BC\\ AH\perp BC\\ DA\in \left(DAH\right);AH\in \left(DAH\right)\\ DA\cap AH=\left\{A\right\}\end{array}\right.$$\Rightarrow DH\perp BC$  (định lý ba đường vuông góc).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\cap \left(DBC\right)=BC\\ AH\perp BC;DH\perp BC\\ AH\in \left(ABC\right);DH\in \left(DBC\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(\widehat{\left(ABC\right),\left(DBC\right)}\right)=\widehat{AHD}$ .

Ta có $AH=\frac{AB.AC}{BC}$$=\frac{3a.4a}{5a}=\frac{12a}{5}$ .

Tam giác ADH vuông tại A.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \tan \widehat{AHD}\\ =\frac{DA}{AH}=\frac{\frac{3.V_{ABCD}}{S_{ABC}}}{\frac{12a}{5}}\\ =\frac{\frac{3.24\sqrt{3}{a}^3}{15.\frac{1}{2}.3a.4a}}{\frac{12a}{5}}\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\Rightarrow \widehat{AHD}=30°$

Vậy ta chọn A.