Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Trong $\left(ABC\right)$  kẻ $MP//CI\left(P\in AC\right)$  . Trong  $\left(SAC\right)$kẻ $PN//SC\left(N\in SA\right)$ .

$\Rightarrow \left(MNP\right)//\left(SIC\right)\Rightarrow \left(MNP\right)\equiv \left(\alpha \right)$

Suy ra thiết diện giữa  $\left(\alpha \right)$ và tứ diện S.ABC là tam giác MNP.

Do S.ABC là tứ diện đều nên ta đặt $SA=SB=SC=SD$$=AB=BC=CA=2x$

$\begin{array}{l}\Rightarrow AI=x;\\ CI=\frac{2x\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}\end{array}$

Ta có $MP//CI$$\Rightarrow \frac{MP}{CI}=\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AI}=\frac{a}{x}$$\Rightarrow MP=\frac{a}{x}.x\sqrt{3}=a\sqrt{3}$

Tương tự ta có $MN=a\sqrt{3}$ .

Ta có $\frac{NP}{SC}=\frac{AP}{AC}=\frac{a}{x}$$\Rightarrow NP=\frac{a}{x}.SC=\frac{a}{x}.2x=2a$ .

Chu vi tam giác MNP là $C=2a+a\sqrt{3}+a\sqrt{3}$$=2a\left(1+\sqrt{3}\right)$  . Ta chọn B.