Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;1) đến đường thẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm $M\left(-2;1;-1\right)$  và có VTCP $\overrightarrow{u}\left(1;2;-2\right)$ .

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(3;1;2\right),\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right]=\left(6;-8;-5\right)$ .

Do đó 

$\begin{array}{l}d\left(A,d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}\\ =\frac{\sqrt{36+64+25}}{\sqrt{1+4+4}}\\ =\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}}=\frac{5\sqrt{5}}{3}\end{array}$

Cách 2: Đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=1+2t\\ z=-1-2t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$ .

Gọi H là hình chiếu của A trên $d\Rightarrow H\left(-2+t;1+2t;-1-2t\right)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left(-3+t;-1+2t;-2-2t\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_d}=0\\ \iff \left(-3+t\right).1+\left(-1+2t\right).2\\ +\left(-2-2t\right).\left(-2\right)=0\\ \iff t=\frac{1}{9}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left(-\frac{26}{9};-\frac{7}{9};-\frac{20}{9}\right)\\ \Rightarrow d\left(A;d\right)=AH=\frac{5\sqrt{5}}{3}\end{array}$

Ta chọn A.