Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng sao cho biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi M là điểm thỏa mãn 

$\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+5\overrightarrow{MC}=0\\ \iff M\left(-\frac{27}{4};1;\frac{21}{4}\right)\end{array}$

 Khi đó

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}\right|\\ =\left|\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{IM}+5\overrightarrow{IM}+5\overrightarrow{MC}\right|\\ =\left|4\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{0}\right|=4\left|\overrightarrow{IM}\right|\end{array}$

Biểu thức  $\left|\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}\right|$đạt giá trị nhỏ nhất $\iff \left|\overrightarrow{IM}\right|$  nhỏ nhất => I là hình chiếu của M trên mặt phẳng $\left(Oxz\right)\iff I\left(-\frac{27}{4};0;\frac{21}{4}\right)$  .

Bài toán tổng quát: Trong không gian cho các điểm $A_1,A_2\mathrm{,...,}{A}_n$  và mặt phẳng $\left(P\right)$ . Tìm điểm I trên mặt phẳng $\left(P\right)$  sao cho biểu thức $\left|k_1\overrightarrow{I{A}_1}+k_2\overrightarrow{I{A}_2}+\mathrm{...}+k_n\overrightarrow{I{A}_n}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó $k_1,k_2\mathrm{,...,}{k}_n$  là những số thực và $\sum _{i=0}^n{k}_i\ne 0$ .

Cách giải:

- Tìm điểm M thỏa mãn $k_1\overrightarrow{M{A}_1}+k_2\overrightarrow{M{A}_2}$$+\mathrm{...}+k_n\overrightarrow{M{A}_n}=0$  .

- Khi đó $\left|k_1\overrightarrow{I{A}_1}+k_2\overrightarrow{I{A}_2}+\mathrm{...}+k_n\overrightarrow{I{A}_n}\right|$$=\left|\left(\sum _{i=1}^n{k}_i\right)\overrightarrow{IM}\right|$ .

- Do đó $\left|k_1\overrightarrow{I{A}_1}+k_2\overrightarrow{I{A}_2}+\mathrm{...}+k_n\overrightarrow{I{A}_n}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất $\iff \left|\overrightarrow{IM}\right|$  nhỏ nhất =>   I là hình chiếu vuông góc của M trên $\left(P\right)$  .