Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng S. Biết số hạng thứ

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Gọi q là công sai của cấp số nhân. Vì $u_2=1$  nên suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{1}{q}$  .

Ta có 

$\begin{array}{l}S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{q}}{1-q}\\ =\frac{1}{q\left(1-q\right)},\left(\left|q\right|<1\right)\end{array}$

Ta có ${\left(a-b\right)}^2\ge 0$$\iff a^2+b^2\ge 2ab$$\iff \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\ge ab$  (với mọi $a;b\in ℝ$ ).

Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên ta có $q\left(1-q\right)\le \frac{{\left(q+1-q\right)}^2}{4}=\frac{1}{4}$$\iff \frac{1}{q\left(1-q\right)}\ge 4\iff S\ge 4$

Dấu bằng xảy ra khi $q=\frac{1}{2}$  .

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi $q=\frac{1}{2}$ .