Số giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

TXĐ: $D=ℝ$.

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=4x^3+2\left(6m-4\right)x=0\iff 4x\left[x^2+\left(3m-2\right)\right]=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2-3m}\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì $m<\frac{2}{3}$

Đồ thị hàm số có các điểm cực trị là $$\begin{gathered} M\left(0;1-m\right),A\left(-\sqrt{2-3m};-9m^2+11m-3\right), \\ B\left(\sqrt{2-3m};-9m^2+11m-3\right). \end{gathered}$$

Để tam giác MAB vuông tại M thì $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ hay

$\begin{array}{l}-\left(2-3m\right)+{\left(-9m^2+11m-3-1+m\right)}^2=0\\ \iff {\left(-9m^2+12m-4\right)}^2-\left(2-3m\right)=0\\ \iff {\left(2-3m\right)}^4-\left(2-3m\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}2-3m=0\left(loai\right)\\ 2-3m=1\iff m=\frac{1}{3}\end{array}\right..\end{array}$

Vậy $m=\frac{1}{3}$ thỏa mãn điều kiện đề bài.