Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng den ta Trong không gian

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Cách 1: Gọi $A(t;1+2t;6+3t)$ và $B\left(1+t\text{'};-2+t\text{'};3-t\text{'}\right)$ lần lượt là giao điểm của $∆$ với d và d'. Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(1+t\text{'}-t\text{'};-3+t\text{'}-2t;-3-t\text{'}-3t\right)$.

Vì $∆$ song song với trục Oz mà trục Oz có vtcp $\overrightarrow{k }=\left(0;0;1\right)$.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}1+t\text{'}-t=0\\ -3+t\text{'}-2t=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-4\\ t\text{'}=-5\end{array}\right.$.

Vậy $A=\left(-4;-7;-6\right)$. Do đó $∆$  có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-7\\ z=-6+t\end{array}\right.$.

Cách 2: Trục Oz có vtcp $\overrightarrow{u_{oz}}=\left(0;0;1\right)$.

Đường thẳng d đi qua M(0;1;6) và vtcp $\overrightarrow{u_d}=\left(1;2;3\right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(1;-2;3) và có vtcp $\overrightarrow{u_{d\text{'}}}=\left(1;1;-1\right)$.

- Gọi (P) là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-6}{3}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{u_{Oz}},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-2;1;0\right)$.

Mặt phẳng (P) có phương trình $-2x+(y-1)=0\iff -2x+y-1=0$.

- Gọi $\left(Q\right)$ là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa $d\text{'}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}$  song song với trục Oz và chứa $d\text{'}=\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{u_{Oz}},\overrightarrow{u_{d\text{'}}}\right]=\left(-1;1;0\right)$.

Mặt phẳng $\left(Q\right)$ có phương trình

$-1(x+1)+1.(y+2)+0.(z-3)=0\iff -x+y+3=0$.

- Đường thẳng $∆$ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng $\left(Q\right)$.

Gọi $A\in ∆\Rightarrow A\in \left(P\right),A\in \left(P\right),A\in \left(Q\right)\Rightarrow A\left(-4;-7;-6\right)$.

Đường thẳng $∆$ có vtcp $\overrightarrow{u_{∆}}$ cùng phương với $\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}},\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]=\left(0;0;-1\right)$.

$\Rightarrow ∆:\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-7 \left(t\in \mathrm{ℝ}\right)\\ z=-6+t\end{array}\right.$.