Cho f(x) là một hàm liên tục trên R và a là một số thực lớn hơn 1

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Với A: Đặt

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^{3}f\left(x^2\right)dx\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^2.f\left(x^2\right)2xdx\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^2.f\left(x^2\right)d\left(x^2\right)\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{a^2}{\int }}x.f\left(x\right)dx\end{array}$

 Vậy A đúng.

Với B: 

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x.f\left(\sin x\right)dx\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x.f\left(\sin x\right)dx+\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}x.f\left(\sin x\right)dx\\ =I_1+I_2\end{array}$

Tính $I_2$ : Đổi biến$t=\pi -x$$\Rightarrow x=\pi -t;dx=-dt$ .

Đổi cận$x=\pi \to t=0;$$x=\frac{\pi }{2}\to t=\frac{\pi }{2}$ .

Từ đó

 $$\begin{gathered} I_2=-\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}f\left(\sin \left(\pi -t\right)\right)\left(\pi -t\right)dt \\ =\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin t\right)dt-I_1 \end{gathered}$$   

$\Rightarrow I=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)dx=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(\sin x\right)dx$

 Vậy B đúng.

Với C: Đổi biến tương tự B ta thấy C đúng.

Từ đây ta chọn D.

Thật vậy,

$\begin{array}{l}\underset{1}{\overset{a^2}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx\\ =2\underset{1}{\overset{a^2}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}dx\\ =2\underset{1}{\overset{a^2}{\int }}f\left(\sqrt{x}\right)d\sqrt{x}\\ =2\underset{1}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx\end{array}$