Tính tổng tất cả các nghiệm thực dương của phương trình.

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Điều kiện: $x\ne 0$  .

Ta có $2\cos 2x\left(\cos 2x-\cos \frac{2018{\pi }^2}{x}\right)$$=\cos 4x-1$

$\iff 2{\cos }^{2}2x-2\cos 2x.\cos \frac{2018{\pi }^2}{x}$$=\cos 4x-1$

$\iff \cos 4x+1-2\cos 2x.\cos \frac{2018{\pi }^2}{x}$$=\cos 4x-1$

$\iff \cos 2x.\cos \frac{2018{\pi }^2}{x}=1$ 

ta có $\left|\cos 2x.\cos \frac{2018{\pi }^2}{x}\right|\le 1$ 

do đó $\cos 2x.\cos \frac{2018{\pi }^2}{x}=1$$\iff \left\{\begin{array}{l}\cos 2x=1\\ \cos \frac{2018{\pi }^2}{x}=1\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}\cos 2x=-1\\ \cos \frac{2018{\pi }^2}{x}=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\cos 2x=1\\ \cos \frac{2018{\pi }^2}{x}=1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{1009\pi }{l}\end{array}\right.\left(k,l\in \mathbb{Z}\right)$

$\Rightarrow kl=1009\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=1009\\ l=1\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}k=-1009\\ l=-1\end{array}\right.$ hoặc$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ l=1009\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ l=-1009\end{array}\right.$

Trong trường hợp này tổng các nghiệm dương của phương trình bằng $1010\pi$

$\left\{\begin{array}{l}\cos 2x=-1\\ \cos \frac{2018{\pi }^2}{x}=-1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\frac{2018\pi }{1+2l}\end{array}\right.\left(k,l\in \mathbb{Z}\right)$

$\Rightarrow \frac{1}{2}+k=\frac{2018}{1+2l}$$\Rightarrow \left(1+2k\right)\left(1+2l\right)=2.2018$(*)

Vế trái của (*) là số lẻ, vế phải của (*) là số chẵn. Do đó không có giá trị nguyên nào của k, l thỏa mãn (*).

* Tóm lại: Tổng các nghiệm dương của phương trình bằng 1010π.