Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Kí hiệu như hình vẽ.

Ta thấy $IK=r\text{'}$  là bán kính đáy của hình chóp,$AI=h$  là chiều cao của hình chóp.

Tam giác  vuông tại K có IK là đường cao

$\Rightarrow I{K}^2=AI.IM$$\Rightarrow r{\text{'}}^2=h.\left(2r-h\right)$

Ta có $V_{cohp}=\frac{1}{3}.\pi r{\text{'}}^2.h$$=\frac{1}{3}.\pi .h.h.\left(2r-h\right)$$=\frac{4}{3}\pi .\frac{h}{2}.\frac{h}{2}\left(2r-h\right)$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  

$\frac{h}{2}.\frac{h}{2}.\left(2r-h\right)$$\le \frac{{\left(\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+2r-h\right)}^3}{27}=\frac{8r^3}{27}$

$\iff V_{chop}\le \frac{4}{3}\pi .\frac{8r^3}{27}=\frac{32}{81}.\pi r^3$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{h}{2}=2r-h\iff h=\frac{4r}{3}$  . Vậy ta chọn A