Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), ABC là tam giác

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Vì hai mặt phẳng (ABC), (ABD) vuông góc với nhau nên bài toán trở thành “Tính thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác HAB quanh AB với ABCD là hình thang vuông tại A,B” như hình bên. Hai tam giác BHC và DHA đồng dạng $\Rightarrow \frac{BH}{DH}=\frac{HC}{HA}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}.$

Mà $BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=2a\sqrt{3};AC=\sqrt{A{B}^2+C{B}^2}=2a$

Suy ra $AH=\frac{3}{4}AC=\frac{3}{4}.2a=\frac{3a}{2}$ và $BH=\frac{1}{4}BD=\frac{1}{4}.2a\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Diện tích tam giác ABH là:

$$\begin{gathered} S_{\Delta ABH}=\frac{1}{2}.AH.BH=\frac{1}{2}.\frac{3a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8} \\ =\frac{1}{2}.d\left(H;BC\right).BC\Rightarrow d\left(H;BC\right)=2.\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}.a\sqrt{3}=\frac{3a}{4}. \end{gathered}$$

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{3a}{4}\right)}^2.a\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}\pi a^2}{16}.$