Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M, N, P

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi E là trung điểm của $AC\Rightarrow NE//BB\text{'}.$ Nối NP cắt BE tại I suy ra B là trung điểm của EI. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow BG=2EG.$

$\Rightarrow d\left(B;MC\right)=2d\left(E;MC\right)\Rightarrow d\left(B;MC\right)=\frac{2}{3}d\left(B;AC\right)$

Suy ra: $d\left(I;MC\right)=\left(1+\frac{3}{2}\right)d\left(B;MC\right)=\frac{5}{2}d\left(B;MC\right)$

Mà $S_{\Delta IMC}=\frac{1}{2}d\left(I;MC\right).MC$

$=\frac{1}{2}.\frac{5}{2}d\left(B;MC\right).MC=\frac{5}{2}{S}_{\Delta MBC}=\frac{5}{4}{S}_{\Delta ABC}$

Ta có: $\frac{V_{N.MPC}}{V_{N.MIC}}=\frac{NP}{NI}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{N.MPC}=\frac{1}{2}x{V}_{N.MIC}\left(1\right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}{V}_{N.MIC}=\frac{1}{3}.d\left(N;\left(ABC\right)\right).S_{\Delta IMC}=\frac{1}{3}.d\left(A\text{'};\left(ABC\right)\right).\frac{5}{4}{S}_{\Delta ABC}\\ \Rightarrow V_{N.MIC}=\frac{5}{12}.d\left(A\text{'};\left(ABC\right)\right).S_{\Delta ABC}\\ =\frac{5}{12}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{5}{12}V\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $V_{CMNP}=\frac{1}{2}.\frac{5}{12}xV=\frac{5}{24}V.$