Cho biết hàm số f(x)=ax+b/x^2+1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1

* Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = R

Ta có 

$$\begin{gathered} \underset{x\in R}{max}f\left(x\right)=4 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le 4;\forall x\in R\\ \exists x_0\in R:f\left(x_0\right)=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{ax+b}{x^2+1}\le 4\\ \frac{a{x}_0+b}{{x^2}_0+1}=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4x^2-ax+4-b\ge 0\\ 4{x_0}^2-a{x}_0+4-b=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆=a^2+16b-64\le 0\\ ∆=a^2+16b-64\ge 0\end{array}\right. \\ \iff a^2+16b-64=0 \left(1\right) \end{gathered}$$

Đối với $\underset{x\in R}{min}f\left(x\right)=-1$ làm tương tự, ta đi đến $a^2-4b-4=0$ (2)

Giải hệ gồm (1) và (2) ta được $a=\pm 4;b=3$.

Do $n^2+n+2017$ = $n\left(n+\right)+2017$ là số lẻ $\forall n\in N$ nên ${\left(a^2+b^3-44\right)}^{n^2+n+2017}$ = -1

Đáp án C