Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ta có:

$$\begin{gathered} PT\iff m{\left(\frac{9}{4}\right)}^x-\left(2m+1\right){\left(\frac{6}{4}\right)}^x+m\le 0 \\ \iff m{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-\left(2m+1\right){\left(\frac{3}{2}\right)}^x+m\le 0 \end{gathered}$$

Đặt $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x;$ do $x\in \left[0;1\right]\Rightarrow t\in \left[1;\frac{3}{2}\right].$ Khi đó PT trở thành: $m{t}^2-\left(2m+1\right)t+m\le 0\iff m\left(t^2-2t+1\right)\le t$

Rõ ràng t = 1 là nghiệm của BPT đã cho.

Với $t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]\Rightarrow m\le \frac{t}{{\left(t-1\right)}^2}=f\left(t\right),$ xét $f\left(x\right)$ với $t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]$ ta có:

$f\text{'}\left(t\right)=\frac{\left(t-1\right)-2t}{{\left(t-1\right)}^3}=\frac{-t-1}{{\left(t-1\right)}^2}<0\left(\forall t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]\right)$

do đó $f\left(t\right)$  nghịch biến trên $\left(1;\frac{2}{3}\right].$

Do đó BPT nghiệm đúng vơi $\forall t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]\iff m\le \underset{1;\frac{3}{2}}{Min}f\left(t\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=6$

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.