Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Xét hàm số

$g\left(x\right)=2^{f\left(x\right)}-3^{f\left(x\right)}\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right){.2}^{f\left(x\right)}.\ln 2-f\text{'}\left(x\right){.3}^{f\left(x\right)}.\ln 3;\forall x\in ℝ.$

Ta có

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ 3^{f\left(x\right)}.\ln 2=3^{f\left(x\right)}.\ln .\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{f\left(x\right)}=\frac{\ln 3}{\ln 2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\left(1\right)\\ f\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}\frac{\ln 3}{\ln 2}\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left(x\right),$ ta thấy: 

·        Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (vì hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị).

·        Phương trình (2) vô nghiệm vì đường thẳng $y={\log }_{\frac{2}{3}}\frac{\ln 3}{\ln 2}<-1$ không cắt ĐTHS.

Vậy phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt hay hàmsố đã cho có 3 điểm cực trị.