Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = x^3 + mx - 1/5x^5

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Hàm số xác định và liên tục trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

Ta có $\mathrm{y}\text{'}=3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{m}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^6},\forall \mathrm{x}\in \left(0;+\infty \right)$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $\mathrm{y}\text{'}=3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{m}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^6}\ge 0,\forall \mathrm{x}\in \left(0;+\infty \right)$. Dấu đẳng thức xảy ra ở hữu hạn điểm trên $\left(0;+\infty \right)$.

$\iff \mathrm{m}\ge -3{\mathrm{x}}^2-\frac{1}{{\mathrm{x}}^6}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),\forall \mathrm{x}\in \left(0;+\infty \right)$

Ta có $\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=-6\mathrm{x}+\frac{6}{{\mathrm{x}}^7}=\frac{-6{\mathrm{x}}^2+6}{{\mathrm{x}}^7};\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=0\iff \mathrm{x}=1$

Bảng biến thiên

Suy ra $\mathrm{m}\ge \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),\forall \mathrm{x}\in \left(0;+\infty \right)\iff \mathrm{m}\ge \underset{\mathrm{m}\in \left(0;+\infty \right)}{\max }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(1\right)=-4$

Mà $\mathrm{m}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow \mathrm{m}\in \left\{-4;-3;-2;-1\right\}$.