Số các giá trị nguyên của m để phương trình log^2 3 x + căn bậc hai của (log ^2 3 x + 1)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

• Điều kiện: x > 0.
• Đặt $\mathrm{t}=\sqrt{{\log }_3^2\mathrm{x}+1}\ge 1\to {\mathrm{t}}^2={\log }_3^2\mathrm{x}+1\iff {\log }_3^2\mathrm{x}={\mathrm{t}}^2-1.$

Ta có $1\le \mathrm{x}\le 3^{\sqrt{3}}\iff 1\le \sqrt{{\log }_3^2\mathrm{x}+1}\le 2$ hay $\mathrm{t}\in \left[1;2\right]$.

Lúc đó yêu cầu bài toán tương đương tìm tham số m để phương trình ${\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}-2=2\mathrm{m}$ có nghiệm $\mathrm{t}\in \left[1;2\right]$.

Xét hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}-2$ trên [1;2]. Em có $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=2\mathrm{t}+1>0\forall \mathrm{t}\in \left[1;2\right]$. Hàm số đồng biến trên [1;2].

Như vậy, phương trình có nghiệm khi $\mathrm{f}\left(1\right)\le 2\mathrm{m}\le \mathrm{f}\left(2\right)\to 0\le 2\mathrm{m}\le 4\to 0\le \mathrm{m}\ge 2.$

Suy ra $-1\le \mathrm{m}\le 1.$