Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình sinx/(cosx + 1) = 0 trên đoạn [0;2017pi] .Tính S

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương trình $\frac{\sin x}{\cos x+1}=0\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x+1\ne 0\\ \sin x=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne -1\\ 1-{\cos }^{2}x=0\end{array}\iff \cos x=1\iff x=k2\mathrm{\pi }\left(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right).\right.$ 

Mà $x\in \left[0;2017\mathrm{\pi }\right]\to x=k2\mathrm{\pi }\in \left[0;2017\mathrm{\pi }\right]\iff 0\le \mathrm{k}\le \frac{2017}{2}$ suy ra $k=\left\{0;1;2...;1008\right\}.$ Khi đó $S=2\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi }+...+2016\mathrm{\pi }.$ Dễ thấy S là tổng của CSC với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=d=2\mathrm{\pi }\\ u_2=2016\mathrm{\pi }\end{array}\right.\Rightarrow n=1008.$ 

Suy ra $S=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{1008.\left(2\mathrm{\pi }+2016\mathrm{\pi }\right)}{2}=1008.1009\mathrm{\pi }=1017072\mathrm{\pi }.$