Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm thay đổi trên cạnh AB

* Hướng dẫn giải

Đáp án C 

Xét trường hợp $\frac{AP}{PC}=k$  , lúc này $MP\text{//}BC$  nên $BC\text{//}\left(MNP\right)$  .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}N\in \left(MNP\right)\cap \left(BCD\right)\\ BC\text{//}\left(MNP\right)\\ BC\subset \left(BCD\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(BCD\right)\cap \left(MNP\right)$$=NQ\text{//}BC,Q\in BD$  .

Thiết diện là tứ giác MPNQ.

Xét trường hợp $\frac{AP}{PC}\ne k$ .

Trong $\left(ABC\right)$  gọi$R=BC\cap MP$ .

Trong  $\left(BCD\right)$gọi  $Q=NR\cap BD$ thì thiết diện là tứ giác MNPQ.

Gọi $K=MN\cap PQ$  . Ta có $\frac{S_{MNP}}{S_{MNPQ}}=\frac{PK}{PQ}$ .

Do  $\frac{AM}{NB}=\frac{CN}{ND}$ nên theo định lí Thales đảo thì $AC,NM,BD$  lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K, Q nên áp dụng định lí Thales ta được $\frac{PK}{KQ}=\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}=k$

$\Rightarrow \frac{PK}{PQ}=\frac{PK}{PK+KQ}$$=\frac{\frac{PK}{KQ}}{\frac{PK}{KQ}+1}=\frac{k}{k+1}$