Tìm số lớn nhất trong các hệ số a0,a1,a2,....an biết a0 +a1/2+....+ an/2^n =4096

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Theo đề ta có ${\left(1+2x\right)}^n$$=a_0+a_{1}x+\mathrm{....}+a_n{x}^n$  .

Thay $x=\frac{1}{2}$  ta có  ${\left(1+1\right)}^n$$=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{a_n}{2^n}$$=4096$.

$\iff 2^n=4096\iff n=12$

Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức ${\left(1+2x\right)}^{12}$  là $a_n=C_{12}^n{.2}^n$ ;$a_{n-1}=C_{12}^{n-1}{.2}^{n-1}$

Xét bất phương trình với ẩn số n ta có $C_{12}^{n-1}{.2}^{n-1}\le C_{12}^n{.2}^n$  .

$\begin{array}{l}\iff \frac{12!}{\left(n-1\right)!.\left(13-n\right)!}\le \frac{12!.2}{n!.\left(12-n\right)!}\\ \iff \frac{1}{13-n}\le \frac{2}{n}\\ \iff n\le \frac{26}{3}\end{array}$

Do đó bất đẳng thức đúng với $n\in \left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$  và dấu đẳng thức không xảy ra.

Ta được $a_0<a_1<a_2<\mathrm{...}<a_8$  và $a_8>a_9>a_{10}>a_{11}>a_{12}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hệ số trong khai triển nhị thức là $C_{12}^8{.2}^8=126720$  .