Xét số thực a,b thỏa mãn b>1 và căn a < = b < a

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có  ${\log }_{\frac{a}{b}}b={\log }_{\frac{a}{b}}\left(a.\frac{b}{a}\right)$$={\log }_{\frac{a}{b}}a-1$.

Do đó

$\begin{array}{l}P=2{\left[2{\log }_{\frac{a}{b}}a-\left({\log }_{\frac{a}{b}}a-1\right)\right]}^2+\frac{27}{{\log }_{\frac{a}{b}}a}\\ =2{\left({\log }_{\frac{a}{b}}a+1\right)}^2+\frac{27}{{\log }_{\frac{a}{b}}a}\end{array}$ .

Đặt $t={\log }_{\frac{a}{b}}a$ . Do $1<a\le b^2\Rightarrow \sqrt{a}\le b$  .

Suy ra 

$\begin{array}{l}\frac{1}{t}=\frac{1}{{\log }_{\frac{a}{b}}a}={\log }_a\frac{a}{b}\\ =1-{\log }_{a}b\le 1-{\log }_a\sqrt{a}\\ =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow t\ge 2\end{array}$

Khi đó $P=2{\left(t+1\right)}^2+\frac{27}{t}=f\left(t\right)$ .

Khảo sát  $f\left(t\right)$ trên $\left[2;+\infty \right)$ , ta được $f\left(t\right)$  đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{63}{2}$  khi t=2.

Với $t=2\Rightarrow {\log }_{\frac{a}{b}}a=2$$\iff a=b^2$  .