Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c, Một mặt phẳng ampha đi qua

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Giả sử $\overrightarrow{SA}=x\overrightarrow{S{A}^{\text{'}}};\overrightarrow{SB}=y\overrightarrow{S{B}^{\text{'}}};$$\overrightarrow{SC}=z\overrightarrow{S{C}^{\text{'}}}$  .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ .

$\Rightarrow 3\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{SG}=\frac{\overrightarrow{SA}}{3}+\frac{\overrightarrow{SB}}{3}+\frac{\overrightarrow{SC}}{3}\\ \Rightarrow \overrightarrow{SG}=\frac{x}{3}.\overrightarrow{S{A}^{\text{'}}}+\frac{y}{3}.\overrightarrow{S{B}^{\text{'}}}+\frac{z}{3}.\overrightarrow{S{C}^{\text{'}}}\left(1\right)\end{array}$

Do  $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ đi qua G nên ba vectơ  $\overrightarrow{G{A}^{\text{'}}};\overrightarrow{G{B}^{\text{'}}};\overrightarrow{G{C}^{\text{'}}}$ đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số  $i;m;n,\left(i^2+m^2+n^2\ne 0\right)$ sao cho $i.\overrightarrow{G{A}^{\text{'}}}+m.\overrightarrow{G{B}^{\text{'}}}+n.\overrightarrow{G{C}^{\text{'}}}=0$

$\left(i+m+n\right).\overrightarrow{GS}+i.\overrightarrow{S{A}^{\text{'}}}$$+m.\overrightarrow{S{B}^{\text{'}}}+n.\overrightarrow{S{C}^{\text{'}}}=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{SG}=\frac{i}{i+m+n}\overrightarrow{S{A}^{\text{'}}}+\frac{m}{i+m+n}\overrightarrow{S{B}^{\text{'}}}$$+\frac{n}{i+m+n}.\overrightarrow{S{C}^{\text{'}}}\left(2\right)$

Do $SG;S{A}^{\text{'}};S{B}^{\text{'}};S{C}^{\text{'}}$  không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

$\frac{x}{3}=\frac{i}{i+m+n};\frac{y}{3}=\frac{m}{i+m+n};$$\hspace{0.17em}\frac{z}{3}=\frac{n}{i+m+n}$

$\frac{x+y+z}{3}=\frac{i+m+n}{i+m+n}=1$$\Rightarrow x+y+z=3$

Ta có $\frac{1}{S{A^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{B^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{C^{\text{'}}}^2}$$=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực  $\left(\frac{x}{a};\frac{y}{b};\frac{z}{c}\right)$ và  $\left(a;b;c\right)$ ta có .

$\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)$$\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge {\left(x+y+z\right)}^2$

$\iff \frac{1}{S{A^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{B^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{C^{\text{'}}}^2}$$\ge \frac{{\left(x+y+z\right)}^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2}$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$