Tìm số nghiệm của phương trình 2log3(cotx)=log2(cosx)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos \left(x\right)>0\\ cot\left(x\right)>0\end{array}\right.$

Đặt $2{\log }_3\left(cotx\right)={\log }_2\left(\cos \left(x\right)\right)$ = t

Ta có $cot\left(x\right)=3^{\frac{1}{2}};\cos {\left(x\right)}^t$ $\Rightarrow co{t}^2\left(x\right)=3^t;{\cos }^2\left(x\right)=4^t$.

Mặt khác $co{t}^2\alpha =\frac{{\cos }^2\left(\alpha \right)}{1-{\cos }^2\left(\alpha \right)};\forall \alpha \ne k\mathrm{\pi }$ nên

$$\begin{gathered} 3^t=\frac{4^t}{1-4^t} \\ \iff 3^t={12}^t+4^t \\ \iff 4^t+{\left(\frac{4}{3}\right)}^t=1\left(1\right) \end{gathered}$$

Để ý rằng t = -1 là một nghiệm của phương trình (1). Ta sẽ chứng minh t = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Thật vậy, vế trái của (1) là một hàm đồng biến theo t và vế phải là hàm hằng nên là nghiệm duy nhất.

Với $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}\iff x\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }$.

So điều kiện, chọn $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{Z}$.

Mà $x\in$$\left[\frac{\mathrm{\pi }}{3};2\mathrm{\pi }\right]$ nên chỉ có $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Đáp án A