Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.

* Hướng dẫn giải

Đặt $t=3^x>0$. Bất phương trình đã cho trở thành

$$\begin{gathered} a{t}^2+9\left(a-1\right)t+a-1>0 \\ \iff a>\frac{9t}{t^2+9t+1} \end{gathered}$$

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi $a>\underset{t\in \left(0;+\infty \right)}{max}f\left(t\right)$ với $f\left(t\right)=\frac{9t}{t^2+9t+1}$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{-9t^2}{{\left(t^2+9t+1\right)}^2}<0$; $\forall t>0\Rightarrow f\left(t\right)$ là hàm nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

Suy ra f(t) < f(0) = 1

Do đó $\frac{9t}{t^2+9t+1}<1;\forall t>0$ nên các giá trị của a cần tìm là $a\ge 1$

Đáp án B