Phương trình 2^(sin^2 x) + 2^1 +cos^2 x) có nghiệm khi và chỉ khi

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $2^{{\sin }^{2}x}+2^{1+c{\text{os}}^{2}x}=m\iff 2^{{\sin }^{2}x}+2^{2-{\sin }^{2}x}=m\iff 2^{{\sin }^{2}x}+\frac{4}{2^{{\sin }^{2}x}}=m\left(*\right).$

Đặt $t=2^{{\sin }^{2}x}$ mà ${\sin }^{2}x\in \left[0;1\right]$suy ra $t\in \left[1;2\right],$ khi đó $\left(*\right)\iff m=f\left(t\right)=t+\frac{4}{t}.$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\frac{4}{t}$ trên đoạn $\left[1;2\right],$có $f\text{'}\left(t\right)=1-\frac{4}{t^2}\le 0;\forall t\in \left[1;2\right]$

$\Rightarrow f\left(t\right)$ là hàm số nghịch biến trên $\left[1;2\right]$ nên (*) có nghiệm $\iff \underset{\left[1;2\right]}{\min }f\left(t\right)\le m\le \underset{\left[1;2\right]}{m\text{ax}}f\left(t\right)$

Vậy $4\le m\le 5$ là giá trị cần tìm.