Cho hàm số y=(x=m)^3-3x+m^2(Cm). Biết rằng điểm M(a;b)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét hàm số $y={\left(x-m\right)}^3-3x+m^2,$ có $y\text{'}=3{\left(x-m\right)}^2-3x,\forall x\in ℝ$

Phương trình $y\text{'}=0$

$\iff {\left(x-m\right)}^2=1\iff \left[\begin{array}{l}x-m=1\\ x-m=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=m+1\\ x=m-1\end{array}\right.$

Suy ra với mọi $m\in ℝ$ đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị

Và hệ số $a=1>0$

suy ta $x_{CT}>x_{CD}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_{CT}=m+1\\ x_{CD}=m-1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y}_{CT}=m^2-3m-2\\ y_{CD}=m^2-3m+2\end{array}\right.$

Gọi $M\left(a;b\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó:

$\left\{\begin{array}{l}a=m_1+1=m_2-1\\ b=m_1^2-3m_1-2=m_2^2-3m_2+2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{m}_1-m_2=2\\ \left(m_1-m_2\right)\left(m_1+m_2\right)-3\left(m_1-m_2\right)=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}_1-m_2=-2\\ m_1+m_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}_1=-\frac{1}{2}\\ m_2=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=m_1+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\\ b=m_1^2-3m_1-2=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow S=2018a+2020b=2018.\frac{1}{2}+2020.\left(-\frac{1}{4}\right)=504$